江蘇省震澤中學2019-2020學年高二數學下學期自主測試試題二【含答案】.doc

江蘇省震澤中學2019-2020學年高二數學下學期自主測試試題二 （滿分130分 考試時間 90 分鐘） 命題人 審題人 一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分） 1. 已知復數是虛數單位，則的共軛復數是 A. B. C. D. 2. 已知在R上可導，，則 A. B. C. 0D. 4 3. 從1，3，5中取2個數，從0，2，4中取1個數，則組成沒有重復數字的三位數的個數為 A. 24B. 36C. 48D. 60 4. 在的展開式中，含項的系數是 A. B. C. 5D. 10 5. 定義域為R的函數且，且的導函數，則實數a的取值范圍為 A. B. C. D. 6. 體育課的排球發球考試的規則是每位學生最多可發球3次，一旦發球成功，則停止發球，否則一直發球到3次為止設學生發球1次成功的概率為，記發球次數為X，若，則p的取值范圍是 A. B. C. D. 7. 斜三棱柱中，，，，建立如圖所示的空間直角坐標系，已知1,，則與平面所成角的正弦值為 A. B. C. D. 8．已知函數，則方程恰有兩個不同的 實根時，實數的取值范圍是（ ）． A．B．C．D． 二、不定項選擇題（本大題共4小題，共20.0分） 9. 已知復數其中i為虛數單位，復數z的共軛復數為，則 A. B. C. 復數z的虛部為D. 10．的展開式中各項系數的和為2，則其中正確命題的序號是（ ） A．B．展開式中含項的系數是-32 C．展開式中含項D．展開式中常數項為40 11. 如圖，設分別是正方體的棱DC上兩點，且，，其 中正確的命題為 A. 三棱錐的體積為定值 B. 異面直線與EF所成的角為 C. 平面 D. 直線與平面所成的角為 12. 已知函數，則下列結論正確的是 A. 函數存在兩個不同的零點 B. 函數既存在極大值又存在極小值 C. 當時，方程有且只有兩個實根 D. 若時，，則t的最小值為2 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分） 13. 已知函數，則的極大值為． 14. 為慶祝新中國成立70周年，某班舉辦了歌唱比賽，共有5名學生報名參加，其中3 名女生，2名男生如果2名男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出 場順序共有種用數字作答． 15. 直角三角形ABC的兩條直角邊，，平面ABC，，則點P 到斜邊AB的距離是． 16. 已知方程有4個不同的實數根，則實數的取值范圍是________ 四、解答題（本大題共4小題，共50.0分） 17.某中學選派40名學生參加北京市高中生技術設計創意大賽的培訓，他們參加培訓的 次數統計如表所示 培訓次數 1 2 3 參加人數 5 15 20 （1） 從這40名學生中任選3名，求這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數恰好相 等的概率；

（2） 從這40名學生中任選2名，用X表示這2人參加培訓次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數學期望． 18. 天氣預報，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為，至少有一個地方降雨的概為, 已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時間甲、乙兩地降雨互不影響． 分別求甲、乙兩地降雨的概率；

在甲、乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數為X，求X的分布列和數學期望與方差． 19．如圖，在四棱錐中，平面平面， （1）證明平面；

（2）求二面角的大?。?20．已知函數，其中是自然對數的底數. （1）求曲線在處的切線方程；

（2）設，求函數的單調區間；

（3）設，求證當時，函數恰有2個不同零點. 答案和解析 1-8 BCCDD BAB 9.BCD 10.AD 11.AD 12.ABC 13.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用導數求函數的極值，考查用導數判斷函數的單調性，屬于基礎題． 對求導，再把代入求得，從而得，再對函數求導，判斷導函數的正負即可得到極大值． 【解答】解，，，， ，當時，，單調遞增， 當時，，單調遞減，當時，取得極大值． 14.【答案】60 【解析】【分析】本題考查計數原理和排列組合的運用，屬于中檔題． 女生甲不能排在第一個，則可分為兩類第一個為男生；
第一個女生除女生甲以外分別進行計算再相加即可得出答案． 【解答】解女生甲不能排在第一個，可分為兩類 當第一個為男生時，則第二個必為女生，后面任意，此時排法種數為 當第一個為女生女生甲除外時，則先排剩下的女生，再在產生的三個空中安排男生， 此時排法種數為． 因此出場順序的種數為． 15.【答案】3 【解析】【分析】本題考查了向量的運算，點到直線的距離，屬于基礎題． 寫出向量和的坐標，求出在上的投影，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 則0，，3，，0，，所以3，，0， 所以在上的投影為， 所以點P到斜邊AB的距離． 故答案為3． 16.【答案】 【解析】【分析】 本題主要考查函數與方程的應用，利用參數分離法，構造函數，研究函數的單調性和極值，借助數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．根據函數與方程的關系，利用參數分離式進行轉化，構造函數，求出函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可． 【解答】 解由，得， ， 方程等價為， 設， 則函數是偶函數， 當時，， 則， 由得，得，即，得，此時函數單調遞增， 由得，得，即，得，此時函數單調遞減， 即當，時，函數取得極大值 ， 作出函數的圖象如圖 要使與有4個不同的交點， 則滿足， 故答案為． 17.【答案】解這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數恰好相等的概率． 由題意知，1，2， ， ， ， 則隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 所以X的數學期望． 【解析】本題主要考查了等可能事件的概率、對立事件的概率、離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于基礎題． 根據3名學生中至少有2名參加培訓次數相等的反面是3名學生參加培訓的次數各不相等，利用等可能事件概率及對立事件概率計算即可． 先確定隨機變量X的所有可能取值并分別算出相應概率，得到X的分布列，再用數學期望公式計算即可． 18.【答案】解設甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且，． 由題意得，解得 所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為． 在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為 ． X的可能取值為0，1，2，3． ， ， ， ， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以． 方差． 【解析】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題． 利用相互獨立事件同時發生的概率計算公式能求出甲、乙兩地降雨的概率 先求出甲乙兩地3天假期中僅有一地降雨的概率 由題意知，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出降雨量達到理想狀態的地方個數的概率分布與期望． 19.（1）證明在直角梯形中，由得 ，由得，即． 又平面平面，從而平面， 所以，又，從而平面． （2）解作，與交于點，過點作， 與交于點，連接， 由（1）知，則． 所以是二面角的平面角． 在直角梯形中，由，得， 又平面平面，得平面，從而， 由于平面，得． 在中，由，得． 在中，由，得 在中，由，得，從而． 在中，利用余弦定理分別可得． 在中，． 所以，，即二面角的大小是． 20.（1）由，得， ， 曲線在處的切線方程為. （2）， 當時，， 函數的單調增區間為. 當時，， ， 令，得；

令，得或， 函數的單調增區間為；
單調減區間為和. 綜上所述，函數的單調增區間為和；

函數的單調減區間為和. （3）由題意知，， 得， 令， 當時，， 在上單調遞增， 又，， 存在唯一的，使得， 當時，， 在上單調遞減， 當時，， 在上單調遞增， 故是的唯一極值點， 令， 當時，， 在上單調遞減， 即當時，，即， ， 又， 函數在上有唯一的零點， 又在上有唯一的零點， 函數恰有2個不同零點.

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